💡توضیح اصطلاحات
- ترکیب (Combination): روشی برای انتخاب تعدادی از اشیاء از یک مجموعه، بدون در نظر گرفتن ترتیب انتخاب. 💫
- فاکتوریل (!): حاصل ضرب تمام اعداد صحیح مثبت کوچکتر یا مساوی یک عدد مشخص. به عنوان مثال، 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. ✨
یک خط شامل ۱۲ نقطه است. با فرض اینکه هر دو نقطه را می‌توان به هم وصل کرد، تعداد کل پاره‌خط‌ها چقدر خواهد بود؟ 🤔
برای تشکیل یک پاره‌خط، نیاز به انتخاب دو نقطه از بین ۱۲ نقطه داریم. ترتیب انتخاب نقاط مهم نیست (یعنی انتخاب نقطه A و سپس B با انتخاب نقطه B و سپس A یک پاره‌خط یکسان ایجاد می‌کند). بنابراین، این مسئله را می‌توان با استفاده از فرمول ترکیب حل کرد: 💫
در اینجا، n = 12 (تعداد کل نقاط) و k = 2 (تعداد نقاط مورد نیاز برای تشکیل یک پاره‌خط). بنابراین:
که ساده می‌شود به:
و در نهایت:
بنابراین، تعداد کل پاره‌خط‌ها برابر با 66 است. 🎉
نقطه اول را در نظر بگیرید. می‌توان آن را به ۱۱ نقطه دیگر وصل کرد. 🤩
نقطه دوم را در نظر بگیرید. قبلاً به نقطه اول وصل شده، پس می‌توان آن را به ۱۰ نقطه دیگر وصل کرد. 💫
نقطه سوم را در نظر بگیرید. قبلاً به نقاط اول و دوم وصل شده، پس می‌توان آن را به ۹ نقطه دیگر وصل کرد. ✨
و به همین ترتیب تا نقطه یازدهم که فقط می‌تواند به یک نقطه (نقطه دوازدهم) وصل شود. 💫
بنابراین، تعداد کل پاره‌خط‌ها برابر است با: 🤩
که برابر است با 66. 🎉
به طور کلی، اگر n نقطه روی یک خط داشته باشیم، تعداد پاره‌خط‌های ممکن برابر است با:
در اینجا، n = 12. بنابراین:
که ساده می‌شود به:
و در نهایت:
بنابراین، تعداد کل پاره‌خط‌ها برابر با 66 است. ✨
ترکیب یکی از مفاهیم اساسی در ریاضیات گسسته و احتمال است. این مفهوم به ما کمک می‌کند تا تعداد راه‌های ممکن برای انتخاب تعدادی از اشیاء از یک مجموعه را محاسبه کنیم، بدون اینکه ترتیب انتخاب مهم باشد. فرمول ترکیب به صورت زیر است:
در این فرمول، n تعداد کل اشیاء در مجموعه و k تعداد اشیائی است که می‌خواهیم انتخاب کنیم. 💫